Mariya SeninaМы вводили отношение на множестве, как подмножество декартова произведения этого множества на само себя. Декартово произведение -- просто все возможные упорядоченные пары элементов из умножаемых множеств. А отношение на этом множестве это подмножество всех таких пар.
Т.е. если у вас было множество {1, 2, 3}, то в декартовом произведении у вас будет 9 пар и каждую пару мы можем взять в наше подмножество, а можем не взять, значит всего отношений на этом множестве будет 2^9. (Т.е. отношения, где пар мы вообще не взяли и где взяли все тоже существуют).
Проще это записывать таблицей, тогда каждая клеточка это упорядоченная пара ( №столбца; №строки ), а в саму клетку мы пишем 1, если она есть в том подмножестве, которое мы называем отношением, а 0, если её там нет.
Вот пример отношения на множестве A = {5, 7, 8}
| A | 5 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|
| 5 | 1 | 0 | 0 |
| 7 | 0 | 0 | 1 |
| 8 | 0 | 0 | 0 |
Т.е. отношение состоит из двух пар -- (5,5) и (8,7) остальные пары мы в отношение не взяли.
Это можно так же представить, как граф, где мы записываем вершинами элементы, а стрелками соединяем вершины а и b, если в отношении есть пара $(a, b)$.
Тогда получится что наше отношение:
Так же можно ввести понятие отображение на множестве, оно же функция. Отображение на множестве это частный случай отношения на множестве. Чтобы назвать отношение отображением, нужно, чтобы для каждого элемента множества в отношение входила ровно одна пара, где этот элемент идёт на первом месте.
Если рисовать такое отношение в виде графа получится, что из каждой вершины будет выходить ровно одна стрелка, при том, что входить в каждую вершину может несколько или ни одной стрелок.
Если "удвоить" граф (рисовать двудольный граф), где все рёбра выходят из первой половины вершин и выходят во вторую, то опять же, в первой половине все вершины будут покрыты рёбрами (т.е. будут иметь ребро выходящее из вершины).
Построим пример для множества A = {5, 4, 3, 8}
На верхнем рисунке стрелки изображают отношение {(5,5), (4,3), (3,8), (8,3)} на множестве A = {5, 4, 3, 8}, такое отношения является отображение.
На нижнем изображено отношение {(4,5), (4,3), (4,4), (3,8), (8,3)} Но отображения нет, потому что из вершины 5 нет стрелок, т.е. нет пары, где элемент 5 стоит на первом месте. А ещё из элемента 4 ведёт несколько стрелок, значит пара с ним на первом месте есть, но она не единственна.